已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1,是否存在实数k，使得不等式√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)＜k恒成立？

如果存在，求出k的范围
我要是知道一楼的那个不等式还做什么，能不能来个人证一下？

推荐答案 2009-07-29

柯西不等式的一般证法有以下几种：
■①Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.
用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
于是移项得到结论。
■②用n维向量来证.
标注：这里的m,n是指代的向量m,向量n
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=|m||n|cos<m,n>=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)*(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)*cos<m,n>
因为cos<m,n>小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
这就证明了不等式．
柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．

参考资料：http://baike.baidu.com/view/7618.html?wtp=tt

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第1个回答 2009-07-29

解：用柯西不等式
[√（4a+1）+√(ab+1)+√(4c+1)]^2≤(1+1+1)（4a+4b+4c+3）=21
故原式≤√21
即k取 √21

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