一道函数题，请求高手帮忙！！！

Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数），x属于R，
f(x),(x>0),
F(x)=｛ -f(x),(x<0).

(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0，+∞），求F(x)的表达式。
（2）在（1）条件下，当x∈[-2,2]时，g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。
（3）设m·n<0, m + n>0,a>0,且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零？

（要详细步骤，回答好的追加分）

Answer 1

(1)根据题目条件：
知道二次函数的开口向上，且顶点坐标是（-1，0）
即两根之积为 1/a=1 所以 a=1 ,-b/a=-2 b=2
f(x)=x^2+2x+1
F(x)=x^2+2x+1 x>0
F(x)=-(x^2+2x+1) x<0

(2)当x属于[-2,2]，g(x)=f(x)-kx=x^2+(2-k)x+1 是增函数，必须对称轴是在区间以左， 即
(k-2)/2 =<-2 k<=-2
若是减函数 需要 对称轴在区间以右 ，(k-2)/2>=2 k>=6
综上 k<=-2 或 k>=6

(3)f(x)是偶函数，则必然有b=0
f(x)=ax^2+1
根据条件 mn<0,m+n>0 ，知道 m n异号
不妨设 m是正数，n是负数
因为f(x)是偶函数，可以得知f(-x)=f(x)
F(n)=-f(n)=-f(-n)
因为a>0 且函数对称轴是x=0
F(m)+F(n)=f(m)-f(-n)
由于 m+n>0 所以 m>-n>0
而f(m)在大于0区间是增函数，所以 f(m)-f(-n)>0
即F(m)+F(n）>0

Answer 2

(1) 由题知，a-b+1=0 -b/2a=-1 ∴a=1 b=2 （x+1）^2 x＞0
F（x）={ -（x+1）^2 x＜0
（2）g（x）=（x+1）^2-kx g'(x)=2x+2-k 若＞0 则k≤-2
＜0 则k≥6
∴ k≤-2或k≥6
（3）f（-x）=f（x）m＞0 n＜0 F（m）=f（m）
F（n）=-f（-n）F(m)+F(n)=f（m）-f（-n）
f（x）=a（x+b/2a）^2+ 1-b^2/4a
因为f（x）为偶函数 则b/2a=0 b=0
若a＞0 则F(m)+F(n)＞0
若a＜0 则F(m)+F(n)＜0
若a=0 则F(m)+F(n)=0

Answer 3

(1)f(-1)=0, 且值域中最小值为0,故有-b/2a=-1,且-a+b+1=0,联立得:a=-1,b=-2(2)若为单调函数,则其对称轴必在[-2,2]之外,但包含x=2,-2即:h=(k+2)/(-2)大于等于2或小于等于-2,解得k>=-2或k<=-6(3)因为是偶函数,b=0.mn<0,m+n>0,a>0.不妨设m(或n)>0,F(m)+F(n)=a(m^2-n^2)=a(m+n)(m-n),并与已知判断大于零。(注意:m、n设时不同不影响结果)(手机回答的,效果不佳见谅)

Answer 4

(1) 由意得，a-b+1=0 -b/2a=-1 ∴a=1 b=2 （x+1）^2 x＞0
F（x）={ -（x+1）^2 x＜0
（2）g（x）=（x+1）^2-kx g'(x)=2x+2-k 若＞0 则k≤-2
＜0 则k≥6
∴ k≤-2或k≥63）f（-x）=f（x）m＞0 n＜0 F（m）=f（m）F（n）=-f（-n）F(m)+F(n)=f（m）-f（-n）
f（x）=a（x+b/2a）^2+ 1-b^2/4a因为f（x）则b/2a=0 b=0
若a＞0 则F(m)+F(n)＞0
若a＜0 则F(m)+F(n)＜0
若a=0 则F(m)+F(n)=0

Answer 5

（1）
当a=0 时 f（-1）=-b+1=0 所以b=1 但是不符合 值域要求 所以不成立
当a不为0 时 f（x）=a（x+（b/2a））^2+(4a-b^2)/4a
f(-1)=a-b+1=0
又因为最小值为0 所以4a=b^2 解得 b=2 a=1

（2）g(x)=x^2+(2-k)x+1
要使其在指定区间上有一致单调性 必须（k-2）/2大于等于2 或者 小于等于-2 解得k大于等于6或者小于等于-2
（3）因为mn<0 不妨设 m〉0 n<0
因为是偶函数 故b=0
因此 F(m)+F(n)=am^2+1-an^2-1=a(m+n)(m-n)
由于a〉0 m + n>0 m-n>0
所以F(m)+F(n)能大于零