1+（2+2）+（3+3+3）+...+（n+n+...+n）
n+（n+n-1）+（n+n-1+n-2）+...+（n+n-1+n-2+n-3+...+2+1）
n+（n+n-1）+（n+n-1+n-2）+...+（n+n-1+n-2+n-3+...+2+1）
三个相加等于
2n+1+（4n+2）+（6n+3）+....+n（2n+1）
=（2n+1）（1+2+3+...+n）
=（2n+1）（1+n）n·（1/2）
因为是三个式子相加最后还要乘以1/3才是答案
=（2n+1）（1+n）n·（1/2）·（1/3）
扩展资料
相关公式：
（1）（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²-b³
（a-b）³＝a³－3a²b＋3ab²-b³的推导过程如下：
(a-b)³
=(a-b)(a-b)²（分解成两个因式相乘）
=(a-b)(a²-2ab+b²)（把(a-b)²用乘法表达出来）
=a³-3a²b+3ab²-b³（依次相乘得到最后结果）
（2）（a+b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³
（3）a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²（a+b）-b（a²-b²）=a²（a+b）-b（a+b）（a-b）
=（a+b）[a²-b（a-b）]=（a+b）（a²-ab+b²）
（4）a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²（a-b）+b（a²-b²）=a²（a-b）+b（a+b）（a-b）
=（a-b）[a²+b（a+b）]=（a-b）（a²+ab+b²）
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第1个回答 推荐于2018-03-26
n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
....
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
所以加和有
左边=n^3-1=右边=3（1平方+2平方+。。+n平方）-3（1+2+。。+n）+n-1
也就是
1平方+2平方+3平方+...+n平方=n(n+1)(2n+1)/6本回答被网友采纳
(n-1)^3-(n-2)^3=3(n-1)^2-3(n-1)+1
....
2^3-1^3=3*2^2-3*2+1
所以加和有
左边=n^3-1=右边=3（1平方+2平方+。。+n平方）-3（1+2+。。+n）+n-1
也就是
1平方+2平方+3平方+...+n平方=n(n+1)(2n+1)/6本回答被网友采纳
第2个回答 2009-06-13
n(n+1)(2n+1)
用数学归纳法.(^2表示平方)
证明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6
1，N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2，N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3，设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋……＋x^2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋……＋x^2＋（x＋1）^2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）^2
＝（x＋1）[2（x^2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x^2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4，综上所述，平方和公式1＋4＋9＋……＋N^2＝N(N+1)(2N+1)/6成立，得证。
用数学归纳法.(^2表示平方)
证明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6
1，N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2，N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3，设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋……＋x^2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋……＋x^2＋（x＋1）^2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）^2
＝（x＋1）[2（x^2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x^2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4，综上所述，平方和公式1＋4＋9＋……＋N^2＝N(N+1)(2N+1)/6成立，得证。
第3个回答 2009-06-13
：）
第4个回答 2009-06-23
有个公式 全部和=(N+1)*(N+2)*(2N+1)/6
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