双曲函数的反函数的推导过程

Question

RT，求双曲正弦和双曲余弦函数到反双曲正弦和反双曲余弦的相互推导过程

Answer 1

双曲余弦函数在实数范围内不是单调函数，没有反函数。对于双曲正弦，y=(exp(x)-exp(-x))/2,令x，y互换，得到x=(exp(y)-exp(-y))/2,设t=exp(y),则有x=(t-1/t)/2,即t^2-2xt-1,由于t>0，故t=x+(x^2+1)^0.5,y=ln(t)=ln(x+(x^2+1)^0.5)。在复数范围内sinh(z)=(exp(z)-exp(-z))/2,cosh(z)=(exp(z)+exp(-z)),asinh(z)=ln(z+(z^2+1)^0.5),acosh(z)=ln(z+(z^2-1)^0.5),推导方法为：w=asinh(z),则z=sinh(w)=(exp(w)-exp(-w))/2,和实数范围内的相似，但注意此时它们是多值函数，性质很复杂，大学中有专门的课程《复变函数》，会详细的讲解的。