在数学中,反三角函数(偶尔也称为弧函数,反严密函数或圈度量函数)是三角函数的反函数(具有适当限制的域)。具体而言,它们是正弦、余弦、正切、余切、正割和余切函数的逆函数,并用于从任何角度的三角比获得角度。
反三角函数的和差公式与对应的三角函数的和差公式没有关系
y=arcsin(x),定义域[-1,1],值域[-π/2,π/2]
y=arccos(x),定义域[-1,1],值域[0,π]
y=arctan(x),定义域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2)
y=arccot(x),定义域(-∞,+∞),值域(0,π)
sin(arcsinx)=x,定义域[-1,1],值域[-1,1]arcsin(-x)=-arcsinx
证明方法如下:设arcsin(x)=y,则sin(y)=x,将这两个式子代入上式即可得
其他几个用类似方法可得
cos(arccosx)=x,arccos(-x)=π-arccosx
tan(arctanx)=x,arctan(-x)=-arctanx
反三角函数其他公式
cos(arcsinx)=√(1-x^2)
arcsin(-x)=-arcsinx
arccos(-x)=π-arccosx
arctan(-x)=-arctanx
arccot(-x)=π-arccotx
arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx
sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x
当x∈[-π/2,π/2]有arcsin(sinx)=x
x∈[0,π],arccos(cosx)=x
x∈(-π/2,π/2),arctan(tanx)=x
x∈(0,π),arccot(cotx)=x
x>0,arctanx=π/2-arctan1/x,arccotx类似
若(arctanx+arctany)∈(-π/2,π/2),则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy))
1.反函数的定义
设函数y=f(x)的定义域是A,值域是C.我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值,通过式子x=φ(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数,记作x=f-1(y),习惯表示为y=f-1(x).注意:函数y=f(x)的定义域和值域,分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域,
2.反函数存在的条件
按照函数定义,y=f(x)定义域中的每一个元素x,都唯一地对应着值域中的元素y,如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应,即定义域中的元素x和值域中的元素y,通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系,那么函数y=f(x)存在反函数,否则不存在反函数.例如:函数y=x2,x∈R,定义域中的元素±1,都对应着值域中的同一个元素1,所以,没有反函数.而y=x2,x≥1表示定义域到值域的一一对应,因而存在反函数.
3.函数与反函数图象间的关系
函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x对称.若点(a,b)在y=f(x)的图象上,那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上。
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