矩阵相似怎么求逆矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

因为A与B相似，可以知道|A|=|B|，tr(A)=tr(B)；

所以得到 6b+a=-5；4=6+b；计算得到a=7，b=-2 。

所以求得矩阵B：

因为矩阵A的特征多项式为

所以A的特征值为 λ1=5，λ2=-1 ，然后求A得特征向量。

当λ1=5时，矩阵A的特征方程为

求得λ1=5的特征向量为ξ1=（1,1）T ；

当λ2=-1时，矩阵A的特征方程为

求得λ2=-1的特征向量为ξ2=（-2,1）T ；

所以存在可逆矩阵P1=（ξ1，ξ2）；使得P1^-1AP1=C，其中C为对角矩阵。

同样的因为矩阵B的特征多项式为

所以B的特征值为 λ1=5，λ2=-1 ，求B得特征向量。

当λ1=5时，矩阵B的特征方程为

求得λ1=5的特征向量为η1=（-7,1）T ；

当λ2=-1时，矩阵B的特征方程为

求得λ2=-1的特征向量为η2=（-1,1）T ；

所以存在可逆矩阵P2=（η1，η2）；使得P2^-1BP2=C，其中C为对角矩阵。

因为矩阵A与矩阵B相似的对角矩阵C均为一样的，所以得到P1^-1AP1=P2^-1BP2；

化简得到 (P1P2)^-1A(P1P2)=B；所以存在可逆矩阵P=P1P2，使得P^-1AP=B；

即可逆矩阵P为

扩展资料：

相似矩阵所用到的性质

对于P^-1AP=B，设A，B和C是任意同阶方阵，则有：

若A与B相似，则有

两者的秩相等；两者的行列式值相等；两者的迹数相等；两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；两者拥有同样的特征多项式；两者拥有同样的初等因子。

参考资料来源：百度百科-相似矩阵