法律分析：事业单位员工醉驾被判处拘役的，事业单位是可以对该员工作出开除的处分。根据相关的法律的规定，事业单位员工醉酒驾驶的，是属于已经构成了刑事犯罪，被判处拘役后，事业单位除了可以作出开除的处分之外，还可以终止其与事业单位的人事关系。
法律依据：《事业单位工作人员处分暂行规定》
第五条 处分的种类为：(一)警告，(二)记过，降低岗位等级或者撤职，开除。其中，撤职处分适用于行政机关任命的事业单位工作人员。
第七条 事业单位工作人员受到警告处分的，在受处分期间，不得聘用到高于现聘岗位等级的岗位;在作出处分决定的当年，年度考核不能确定为优秀等次。事业单位工作人员受到记过处分的，在受处分期间，不得聘用到高于现聘岗位等级的岗位，年度考核不得确定为合格及以上等次。事业单位工作人员受到降低岗位等级处分的，自处分决定生效之日起降低一个以上岗位等级聘用，按照事业单位收入分配有关规定确定其工资待遇;在受处分期间，不得聘用到高于受处分后所聘岗位等级的岗位，年度考核不得确定为基本合格及以上等次。行政机关任命的事业单位工作人员在受处分期间的任命、考核、工资待遇按照干部人事管理权限，参照本条第一款、第二款、第三款规定执行。事业单位工作人员受到开除处分的，自处分决定生效之日起，终止其与事业单位的人事关系。
第二十二条 事业单位工作人员被依法判处刑罚的，给予降低岗位等级或者撤职以上处分。其中，被依法判处有期徒刑以上刑罚的，给予开除处分。行政机关任命的事业单位工作人员，被依法判处刑罚的，给予开除处分。饮酒后驾驶机动车的，处暂扣6个月机动车驾驶证，并处1000元以上2000元以下罚款。因饮酒后驾驶机动车被处罚，再次饮酒后驾驶机动车的，处10日以下拘留，并处1000元以上2000元以下罚款，吊销机动车驾驶证。饮酒后驾驶营运机动车的，处15日拘留，并处5000元罚款，吊销机动车驾驶证，5年内不得重新取得机动车驾驶证。