设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足xf′（x）=f（x）+3a2x2（a为常数

设函数f（x）在闭区间[0，1]上连续，在开区间（0，1）内大于零，并满足xf′（x）=f（x）+3a2x2（a为常数），又曲线y=f（x）与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2，求函数y=f（x），并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

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已知函数f(x)在闭区间[0, 1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1) =...答：设y=f(x)则解微分方程y'=-y/x，得y=C/x, 即xy=C, 将C替换为g(x)得g(x)=xf(x),即为构造函数

设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0答：令F(x)=f(x)e^x F'(x)=e^x[f'(x)+f(x)]F(0)=f(0)e^0=0 F(1)=f(1)e^1=0 F(0)=F(1)=0 根据罗尔定理，存在ξ∈(0,1)使 F'(ξ)=0 e^ξ[f'(ξ)+f(ξ)]=0 f'(ξ)+f(ξ)=0

设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,且f(0)=f(1),证明至少存在一点a属于...答：令g(x)=xf(x)则g(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且g（1）=0=g(0)由罗尔中值定理知有一点a属于（0，1）使得 g`(a)=0 0=g`(a)=f(a)+af`(a)即f`(a)=-f（a）/a。

如果函数在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(1)=0,那么...答：证明：令F(x)=xf(x)，则 F(0)=0 F(1)=f(1)=0 所以，F(0)=F(1)由罗尔定理，在开区间(0,1)内可导至少存在一点u，使得F'(u)=0 而F'(u)=f(u)+uf'(u)即在开区间(0,1)内可导至少存在一点u，使得f'(u)=-[f(u)/u]...

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点...答：证明过程如下：设g(x)=xf(x)，则g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。所以g(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导且g(0)=g(1)，由罗尔中值定理得：存在一点ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.所以f'(ε...

函数f在闭区间[0,1]中连续,0≤x≤1 关于所有的x有F(x)=∫x x2 f(t...答：f(x)=∫(x,x^2) f(t) dx f(x)=-∫(x^2,x)f(t)dx=-∫(x^2,0) f(t) dx-∫(0,x) f(t) dx f(x)=∫(0,x^2)f(t)dx-∫(0,x) f(t) dx 所以 f'(x)=f(x^2)*(x^2)'-f(x)=2xf(x^2)-f(x).

设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,且满足f(1)-2答：即af'(a)+f(a)=0 [注意到左边＝[xf(x)]'|x=a ,转化为证此函数的导函数有零点，用罗尔中值定理]构造g(x)=∫（x,0）tf(t)dt g(1/2)=1/2f(1)g'(x)=xf(x),则有点b使得g'(b)=[g(1/2)-g(0)]/1/2=f(1)=bf(b) （拉格朗日中值定理）即有一点b，其bf(b)等于1f...

设函数f(x)在闭区间(1,1)上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(x)=0.证明...答：设F(x)=xf(x)-f(x) 函数f(x)在闭区间（1，1）上连续，在开区间（0,1）内可导 F(x)亦如此 F(0)=0 F(1)=0 存在一点c∈（0,1），使得F‘(c)=0 cf'(c)+f(c)=f'(c)

已知fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0 f1=1,答：^令g(x)=x^3*f(x)，则g(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导因为g(0)=0，g(1)=f(1)=0，所以根据罗尔定理存在ξ∈(0,1)，使得g'(ξ)=0 3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0 3f(ξ)+ξf'(ξ)=0 证毕例如：令g(x)=xf(x),0<=x<=1.那么g(0)=g(1)=0，g'(x...

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