假设函数y=f（x）在闭区间[0，1]上连续在开区间(0,1)上二阶可导，

Question

过点A（0，f（0））与B(1,f(1)）的直线与曲线y=f（x）相交于点C（c，f（c）），其中0<c<1,证明在（0，1）内至少存在一点ξ，使得f''（ξ）=0

Answer 1

设过A ,B 的直线函数为y=g(x)
则f(0)=g(0) f(c)=g(c) f(1)=g(1)
由拉格朗日中值定理得：[f(c)-f(0)]/(c-0)=f'(m)=[g(c)-g(0)]/(c-0)=g'(x) 0<m<c
[f(1)-f(c)]/(1-c)=f'(n)=[g(1)-g(c)]/(1-c)=g'(x) c<n<1
因为g(x)为一次函数，所以g'(x)为常数
所以f'(m)=f'(n) 0<m<n<1
由罗尔定理得在（0，1）内至少存在一点使得f''(x)=0