随机变量是样本空间上的实值函数，具有随机性，其分布函数描述了随机变量在不同取值区间内的概率。以下是关于随机变量及其分布函数的详细解读：
一、随机变量 定义：随机变量是定义在样本空间上的实值函数，其取值范围本质上即为随机事件。若某一范围内随机变量取不到任何值，则该范围内的事件为不可能事件。 种类：随机变量分为离散型和连续型。离散型随机变量取值为有限个或可数个；连续型随机变量取值则为某一区间内的所有实数。
二、随机变量的分布函数 定义：分布函数是定义在任何值上的一个实值函数，其值等于随机变量在区间内取值的概率，即事件“X≤x”的概率。 性质： 单调不减：随着x的增大，分布函数的值不减小。 右连续：分布函数在任意点x处都是右连续的。 极限为0和1：当x趋近于负无穷时，分布函数的值趋近于0；当x趋近于正无穷时，分布函数的值趋近于1。
三、随机变量的分布种类 离散型随机变量的概率分布：通过概率分布列来描述，即列出所有可能取值及其对应的概率。 连续型随机变量的概率密度函数：通过概率密度函数来描述，其值表示随机变量在某一点附近的取值概率密度，而非具体概率。概率密度函数下的面积代表概率。
四、常见的随机变量分布 01分布：随机变量只取0或1两个值的分布。 二项分布：在n次独立重复试验中，某事件恰好发生k次的概率分布。 几何分布：在独立重复试验中，首次成功所需试验次数的分布。 超几何分布：在不放回抽样中，从有限总体中抽取n个样本，其中某类样本个数的分布。 泊松分布：描述在固定时间或空间内发生某事件的次数的分布，适用于小概率事件的计数问题。 均匀分布：在某一区间内，所有取值具有相同概率的分布。 指数分布：描述在单位时间内发生特定事件的次数的分布，广泛应用于可靠性理论、排队论等领域。
五、随机变量函数的分布 描述随机变量函数在不同取值区间内的概率分布，是随机变量分布函数的进一步拓展和应用。
六、随机变量分布函数的意义 随机变量的分布函数是概率论和统计学中的重要概念，对于理解和分析随机现象具有重要意义。通过分布函数，我们可以了解随机变量的取值范围、概率分布特性以及不同取值之间的概率关系。