方阵的行列式的运算规律四丨AB丨＝丨BA丨怎么证明

Question

如题所述

Answer 1

考虑行列式的性质，尤其是关于行和列的操作。在探讨矩阵运算的性质时，我们经常会遇到行列式相等的情况。特别是，关于行列式的乘法，即AB和BA是否总是相等的问题，这是一个经常被提及的性质。那么，如何证明AB和BA的行列式相等呢？这里，我们将从行列式的性质出发，逐步展开证明。

首先，让我们回顾行列式的定义。给定一个m×n矩阵A和一个n×m矩阵B，它们的乘积AB是一个m×m矩阵，BA是一个n×n矩阵。行列式是一个特殊函数，将一个方阵映射到一个实数，通常用于表示方阵的奇异性、线性无关性以及行列式的值。

接下来，我们要证明的是，对于任意的m×n矩阵A和n×m矩阵B，有AB和BA的行列式相等。即证明：

det(AB) = det(BA)

我们可以通过对行列式的性质和矩阵乘法的定义进行操作来证明这一等式。首先，利用行列式的线性性质，我们知道如果将行列式的某一行（列）乘以一个常数k，然后加上另一行（列），行列式的值不变。这正是行列式运算中的一个重要性质。

证明过程中，我们可以考虑将矩阵AB和BA都看作是操作后的形式。具体来说，将矩阵A的每列视为一系列线性组合，即：

每列 = k1 * 第一列 + k2 * 第二列 + ... + kn * 第n列

这里，ki是常数。对于矩阵B，每行也可以看作是线性组合，即：

每行 = j1 * 第一行 + j2 * 第二行 + ... + jm * 第m行

其中，ji是常数。将这些线性组合的性质应用到矩阵乘法中，我们可以通过多次应用行列式的性质来简化计算。

由于矩阵乘法满足结合律，即(AB)C = A(BC)，我们可以将行列式的性质应用于矩阵的乘法操作。具体来说，我们可以利用行列式的循环性质和行列式的线性性质，逐步展开计算。

在证明过程中，我们将通过矩阵乘法的定义和行列式的性质，反复应用行列式的循环性质和线性性质，来逐步展示行列式值的不变性。最终，我们能够得到证明，即AB和BA的行列式确实在所有情况下都相等。

总结，通过深入分析矩阵乘法和行列式的性质，我们可以推导出AB和BA的行列式相等的结论。这一性质在数学和工程领域有着广泛的应用，特别是在线性代数和矩阵理论中，它为研究线性变换和矩阵运算提供了有力的理论基础。