为什么函数可导一定连续可微？

Question

如题所述

Answer 1

对于一元函数而言，可导与可微是充要条件，即如果一个函数在某一点可导，那么它在该点一定可微，反之亦然。

1、可导的定义：

可导的定义是函数在某一点处可导，即函数在该点处的导数存在。具体来说，对于一元函数，如果函数在某一点x=x0处的导数存在，则称函数在该点处可导；对于多元函数，如果函数在某一点(x0,y0)处的偏导数存在，则称函数在该点处可导。

2、可微的定义：

函数在某一点可微，是指函数在该点的变化量与自变量的变化量成正比，且比例系数为该点的导数。换句话说，函数在某一点可微，意味着该点的导数存在，并且可以用微分形式表示函数在该点的变化趋势。

可导与可微的关系：

1、可导与可微是等价的：

在一元函数中，如果函数在某一点处可导，则该点处一定可微，反之亦然。这是由于导数和微分的定义中，都涉及到函数在某一点的变化趋势和变化量，因此它们是相互关联的概念。

2、可导是可微的必要条件：

对于多元函数，如果函数在某一点处可导，则该点处一定可微。这是因为多元函数的可导性需要偏导数存在且连续，而偏导数就是函数在该点处的变化率，因此它们之间存在一一对应关系。

3、可微是可导的充分条件：

对于一元函数，如果函数在某一点处可微，则该点处一定可导。这是因为一元函数的微分就是函数在该点处的变化量的高阶无穷小，因此它们之间存在一一对应关系。

4、可导与可微的联系：

可导和可微都是函数在某一点处的性质，它们都涉及到函数在该点处的变化趋势和变化量。因此，它们之间存在密切的联系，并且在许多情况下可以互相推导和转化。