要证明一个
𝑝
𝑞
pq阶群（其中
𝑝
p和
𝑞
q是质数）是可解群，我们可以使用Sylow定理和群论中的一些基本概念。
首先，根据Sylow定理，对于任意的质数
𝑝
p，如果一个群
𝐺
G的阶数
∣
𝐺
∣
=
𝑝
𝑛
𝑞
∣G∣=p
n
q（其中
𝑝
𝑚
𝑖
𝑑
𝑞
pmidq），那么
𝐺
G中存在一个
𝑝
p-Sylow子群
𝑃
P，其阶数为
𝑝
𝑛
p
n
。同样，
𝐺
G中也存在一个
𝑞
q-Sylow子群
𝑄
Q，其阶数为
𝑞
q。
由于
𝑝
p和
𝑞
q是不同的质数，
𝑃
P和
𝑄
Q都是循环群。这是因为对于任何质数
𝑝
p，
𝑝
p阶循环群是最小的
𝑝
p阶群，且是唯一的
𝑝
p阶非平凡单群。因此，
𝑃
P是循环群，记为
⟨
𝑎
⟩
⟨a⟩，其中
𝑎
a的阶数为
𝑝
𝑛
p
n
；同理，
𝑄
Q是循环群，记为
⟨
𝑏
⟩
⟨b⟩，其中
𝑏
b的阶数为
𝑞
q。
接下来，我们考虑
𝐺
G中所有形如
⟨
𝑎
𝑘
⟩
⟨a
k
⟩的子群，其中
𝑘
k是整数。这些子群都是
𝐺
G的正规子群，因为它们由群元素的幂生成。同样，所有形如
⟨
𝑏
𝑚
⟩
⟨b
m
⟩的子群也是
𝐺
G的正规子群。
现在，我们注意到
𝐺
G中的元素可以写成
𝑎
𝑘
𝑏
𝑚
a
k
b
m
的形式，其中
𝑘
k和
𝑚
m是整数。由于
𝑃
P和
𝑄
Q在
𝐺
G中的指数分别是
𝑞
q和
𝑝
p，根据拉格朗日定理，每个元素
𝑎
𝑘
𝑏
𝑚
a
k
b
m
的阶数必须整除
∣
𝐺
∣
=
𝑝
𝑞
∣G∣=pq。这意味着除了单位元之外，没有其他元素的阶数同时整除
𝑝
p和
𝑞
q。
因此，
𝐺
G中不存在阶数大于1的元素能够同时交换
𝑃
P和
𝑄
Q中的所有元素。换句话说，
𝑃
P和
𝑄
Q在
𝐺
G中是无交集的，它们在
𝐺
G中的正规化子
𝑁
𝐺
(
𝑃
)
N
G
(P)和
𝑁
𝐺
(
𝑄
)
N
G
(Q)是
𝐺
G本身。这是因为如果存在一个非平凡的元素
𝑔
𝑖
𝑛
𝐺
ginG，使得
𝑔
𝑃
𝑔
−
1
=
𝑃
gPg
−1
=P和
𝑔
𝑄
𝑔
−
1
=
𝑄
gQg
−1
=Q，那么
𝑔
g将同时属于
𝑁
𝐺
(
𝑃
)
N
G
(P)和
𝑁
𝐺
(
𝑄
)
N
G
(Q)，从而属于它们的交
𝑁
𝐺
(
𝑃
)
∩
𝑁
𝐺
(
𝑄
)
N
G
(P)∩N
G
(Q)。但是，由于
𝑃
P和
𝑄
Q在
𝐺
G中的指数分别为
𝑞
q和
𝑝
p，它们的正规化子的交只能是单位元群
{
𝑒
}
{e}。这与假设矛盾，因此不存在这样的
𝑔
g。
由于
𝑃
P和
𝑄
Q是无交集的，并且它们的正规化子是
𝐺
G本身，我们可以得出结论，
𝐺
G是一个半直积群
𝑃
𝑟
𝑡
𝑖
𝑚
𝑒
𝑠
𝑄
PrtimesQ。在这种半直积结构中，群的每个元素都可以唯一地表示为一个来自
𝑃
P的元素和一个来自
𝑄
Q的元素的乘积。这种表示形式确保了群运算的封闭性，并且群的结构函数（即从
𝑃
×
𝑄
P×Q到自身的映射）可以通过群的乘法表来确定。
最后，由于
𝑃
P和
𝑄
Q都是循环群，它们的元素可以表示为幂的形式，这使得群的结构函数成为多项式函数。这意味着群的结构函数可以分解为一系列较小的多项式函数的乘积，这些多项式函数对应于群的生成元的不同幂次。
综上所述，我们证明了一个
𝑝
𝑞
pq阶群是可解群。这个结论是基于Sylow定理、拉格朗日定理以及群的结构函数的性质。
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