如何证明lnx< x-1?

如题所述

第1个回答 2023-08-14

①首先ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n-1) *x^n/n+...
这是函数的幂级数展开式，（或泰勒展开式，麦克劳林展开。。。）
平移一下，lnx=(x-1)-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4+...+(-1)^(n-1) *(x-1)^n/n+...
所以lnx<x-1，（证明的话，用你现在学的函数求导，单调性啥的来证）。这些都是大学内容。
一般常见放缩一项的，但难一点的会多留几项，比如好像有一年湖北卷出过ln（1+x）<x-x^2/2...
一题目第一问会给暗示，所以不会特别难，不过这些式子知道下也挺好。。。
拓展：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
②额，这个不等式证明我想你应该会了。。。
顺带说一下，那是有一个极限式，欧拉常数的计算，lim(½+1/3+¼+1/5……+1/n-lnn)=γ≈0.577215

你想知道的不等式，你去看一下大学数学教材，里边很多的，推荐《数学分析》，拉格朗日乘数法对于构造均值不等式讲的蛮多的。。。你也可以去看一下微积分教材，这本比较简单，还有函数的幂级数展开式，我想你要问的不等式，看到这些展开式之后，你想放缩几项就放缩几项，会出现各种不等式。。。

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设f(x)=lnx/x-1(x>1) 判断f(x)的单调性是否存在实数a答：所以ln[(x+x')/(x+x'-1) * (x-1)/x]<0，即为f(x+x')-f(x)由此得出f(x)在x>1时，单调递减 (2) 证明因为 x>1，所以公式lnx<a(x-1)，相当于 lnx/(x-1)

证明x-1大于lnx答：令 f(x) = x-1- lnx , f(1) = 0 f '(x) = 1 - 1/x = (x-1) / x 当 0<x<1 时, f '(x) < 0, f(x)单减；当 x>1 时, f '(x) > 0, f(x)单增。当 x>0 且 x≠1 时, f(x) > f(1)=0 即 x - 1 > lnx ...

证明:当x大于等于1时,(x+1)lnx大于等于x-1答：证：令f(x)=(x+1)lnx -x+1，(x≥1)f'(x)=lnx +(x+1)/x -1=lnx +1/x x≥1，lnx≥0，0<1/x≤1，lnx+ 1/x>0 f'(x)>0，函数在[1，+∞)上单调递增令x=1，得：f(1)=(1+1)ln1 -1+1=0 x≥1，f(x)≥0 (x+1)lnx -x+1≥0 (x+1)lnx≥x-1 即：x≥...

如何求自然对数的底?答：所以lnx<x-1，拓展：e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+。令F(X)=f（x）—Inx，即证明函数F(X)在x在（1，e）内，方程F(x)=0有一个解。对F(x)求导有F'(x)=f‘（x）—1/x,又因为函数f(x)在[1，e]上可导，且0<f‘(x)<1，在(1，e)。f'(x)≠(1/x)，...

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