矩阵范数怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

要证明矩阵的1-范数计算式为
║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }
其中，A为n阶矩阵，aij为矩阵A的第i行第j列元素。

首先，我们需要证明 max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的上界。

根据1-范数的定义，有
║A║1 = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,…… ,∑|anj| }
其中，a1j、a2j、……、anj为矩阵A的第j列元素。

我们可以发现，对于任意的j，有
∑|a1j| ≤ ∑|aij| (i=1,2,……,n)

因此，
∑|a1j| ≤ max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }

综合所有的j，我们可以得到
║A║1 = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,…… ,∑|anj| }
≤ max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }

因此，max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的上界。

接下来，我们需要证明 max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的下界。

对于任意的i，我们有
∑|ai1| + ∑|ai2| + …… + ∑|ain| = ∑|aij|

因此，
max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } ≤ ∑|aij| (j=1,2,……,n)

综合所有的i，我们可以得到
max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } ≤ max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,…… ,∑|anj| }
= ║A║1

因此，max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } 是矩阵A的1-范数的下界。

综上所述，我们可以得到
║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| }

证毕。