第1个回答 2020-02-22
“圜,一中同长也”。意思是说:圆只有一个中心,圆周上每一点到中心的距离相等。早在我国先秦时期,《墨经》上就已经给出了圆的这个定义,而公元前11世纪,我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。认识了圆,人们也就开始了有关于圆的种种计算,特别是计算圆的面积。我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”,也就是我们现在所熟悉的这个公式。为了证明这个公式,我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇1800余字的注记,这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”。
根据刘徽的记载,在刘徽之前,人们求证圆面积公式时,是用圆内接正十二边形的面积来代替圆面积。应用出入相补原理,将圆内接正十二边形拼补成一个长方形,借用长方形的面积公式来论证《九章算术》的圆面积公式。刘徽指出,这个长方形是以圆内接正六边形周长的一半作为长,以圆半径作为高的长方形,它的面积是圆内接正十二边形的面积。这种论证“合径率一而弧周率三也”,即后来常说的“周三径一”,当然不严密。他认为,圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差,用有限次数的分割、拼补,是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。他从圆内接正六边形开始割圆,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣。”也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍,则它们与圆面积的差就越来越小,而当边数不能再加的时候,圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。刘徽考察了内接多边形的面积,也就是它的“幂”,同时提出了“差幂”的概念。“差幂”
是后一次与前一次割圆的差值,可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。同时,它与两个小黄三角形的面积和相等。刘徽指出,在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中,圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。以余径乘正多边形的边长,即2倍的“差幂”,加到这个正多边形上,其面积则大于圆面积。这是圆面积的一个上界序列。刘徽认为,当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时,“则表无余径。表无余径,则幂不外出矣。”就是说,余径消失了,余径的长方形也就不存在了。因而,圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。于是内外两侧序列都趋向于同一数值,即,圆面积。