为什么一个数各位数之和能被3整除的话这个数就能被3整除？

Question

我想上过小学的人都知道这个规律,但是我不知道他的原理是什么,也就是怎么推算出来的。这个结论谁能告诉我一下它的原理,也就是推算过程,谢谢

Answer 1

假设一个数字是3的倍数，并且各位数字之和也是3的倍数，那么它加上3之后，新的数能被3整除，同时新数的各位数字这和比原数的各位数字之和少或多3的倍数，所以新数的各位数字之和肯定也是3的倍数。
根据数学上的归纳法原理（我们说3=3*1,
3+3=3*2,
3+3+3=3*3，…..），我们就可以证明这个结论是正确的。

Answer 2

先看两位数字的,如数码ab组合
a+b为3的倍数
那么10*a+b=9a+(a+b)
9a能被3整除,a+b能被3整除,所以10+b能被3整除
再看三位数字的,如数码abc组合
a+b+c为3的倍数
那么100*a+10*b+c=99a+9b+(a+b+c)
99a,9b,(a+b+c)都能被3整除,所以100*a+10*b+c能被3整除
实际上,对于任何一个自然数a(1)a(2)a(3)a(4).a(n)
如果a(1)+a(2)+a(3)+...+a(n)为3的倍数
那么
a(1)*10^(n-1)+a(2)*10^(n-2)+.+a(n-1)*10+a(n)
=a(1)*[10^(n-1)-1]+a(2)*[10^(n-2)-1]+...+a(n-1)*9+[a(1)+a(2)+...+a(n)]
中间的每一项.都能被3整除