在等差数列{an}中，若Sm=Sn(m≠n) 求证Sm+n=0

Question

在等差数列{an}中，若Sm=Sn(m≠n) 求证Sm+n=0

很急 麻烦

Answer 1

和Sn是关于n的二次多项式
可写为Sn=an^2+bn,S0=0
因Sm=Sn，故对称轴为(m+n)/2
因m+n与0关于对称轴对称
所以Sm+n=S0=0

Answer 2

Sm=ma1+m(m-1)d/2
Sn=na1+n(n-1)d/2
两式相等：（m-n)a1+(m-n)(m+n-1)d/2=0
因为m≠n a1+(m+n-1)d/2=0
Sm+n=(m+n)a1+(m+n)(m+n-1)d/2
因为m,n是正整数，将（m+n)提出来，所以
Sm+n=(m+n)(a1+(m+n-1)d/2)=0

Answer 3

Sm=a1+(m-1)d=a1+(n-1)d=Sn
(m-1)d=(n-1)d
所以d=0或m=n
但根据题目m≠n所以d=0
如果首项为零则题目成立

Answer 4

Sm=a1+(m-1)d=a1+(n-1)d=Sn
(m-1)d=(n-1)d
所以d=0或m=n
但根据题目m≠n所以d=0
如果首项为零则题目成立