如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…

Question

如图1、2、3、…、n，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．（1）求图1中∠MON的度数；（2）图2中∠MON的度数是______，图3中∠MON的度数是______；（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．

Answer 1

解：分别连接OB、OC，
（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵OC=OB，O是外接圆的圆心，
∴CO平分∠ACB
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠OBM=∠OCN=30°，
∵BM=CN，OC=OB，
∴△OMB≌△ONC，
∴∠BOM=∠NOC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°；
∴∠MON=∠BOC=120°；

（2）同（1）可得∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；

（3）由（1）可知，∠MON=

360°

3

=120°；在（2）中，∠MON=

360°

4

=90°；在（3）中∠MON=

360°

5

=72°…，
故当n时，∠MON=

360°

n

．

Answer 2

答案如下：

（1）第一个120度（2）第二个90度，第三个72度。
以第一个为例：可以在AC上取一点P，让AP=CN=BM。这样三角形OMN，ONP，OPM全等
角MON=360/3=120度
（3）0正n变形该角度是 360/n

具体步骤：

(1)过点O作OD⊥AB于点D、OE⊥BC于点E
∵AB=BC
∴OD=OE
又∵∠ODM=∠OEN=90º，OM=ON
∴ΔODM≌ΔOEN
∴∠MON=∠DOE=360°/3=120°
即∠MON=120°
（2）在图2和图3中，∠MON的度数是 90° 和 72°  ；
∠MON=360°/4=90°，∠MON=360°/5=72°
(3)∠MON度数就是360°/n

几何问题解题方法：

一般连成平行，垂直，中线等。具体要看题目了。但是一般题目都不要你添辅助线的，就是添也是比较容易。所以看到几何题不是先想添加什么辅助线，而是先看不添加辅助线能不能做出来，实在不行才考虑添辅助线。

几何问题解题技巧：

根据题中那个条件作出了怎样的辅助线。立体几何还可以建立坐标系，将几何问题化为代数，用代数运算解决，这种方法有时也很简便。用坐标系解决几何问题就叫做解析几何。所以解析几何的解题技巧就在于选好坐标原点，建一个利于计算的坐标系。建立空间直角坐标系时要善于利用题中的垂直条件，多选择两条或三条垂线的交点作为坐标原点，有时选择在该点建系后各点坐标值容易计算的点为坐标原点。多做些题，

本回答被网友采纳