欧式空间中一组基的度量矩阵一定与一个若当标准型相似吗？

Question

如题所述

Answer 1

当然，因为任何矩阵都相似于若当标准型矩阵。

Answer 2

是的。原因：假设在基底（a1,a2,a3,...,an)下A是度量矩阵{(ai,aj)}n*n.在新基底(b1,b2,...bn)下有过渡矩阵(b1,b2...bn)=(a1,a2,...an)Q内积可看做“乘法”:(bi,bj)=bi^T*bj那么B={(bi.bj)}n*n=(b1,b2,..bn)^T*(b1,b2...bn)=Q^T(a1,a2...an)^T*(a1,a2...an)Q=Q^TAQ由于同时合同于标准正交基下的单位矩阵，故其又是正定的即欧式空间在不同基底下的度量矩阵是互相合同且对称且正定的欧式空间其实就是一个具有“乘法”、“可对称”、“正定”三个性质的特殊线性空间。

Answer 3

是的。原因：假设在基底（a1,a2,a3,...,an)下A是度量矩阵{(ai,aj)}n*n.在新基底(b1,b2,...bn)下有过渡矩阵(b1,b2...bn)=(a1,a2,...an)Q内积可看做“乘法”:(bi,bj)=bi^T*bj那么B={(bi.bj)}n*n=(b1,b2,..bn)^T*(b1,b2...bn)=Q^T(a1,a2...an)^T*(a1,a2...an)Q=Q^TAQ由于同时合同于标准正交基下的单位矩阵，故其又是正定的即欧式空间在不同基底下的度量矩阵是互相合同且对称且正定的欧式空间其实就是一个具有“乘法”、“可对称”、“正定”三个性质的特殊线性空间。

Answer 4

是的。原因：假设在基底（a1,a2,a3,...,an)下A是度量矩阵{(ai,aj)}n*n.在新基底(b1,b2,...bn)下有过渡矩阵(b1,b2...bn)=(a1,a2,...an)Q内积可看做“乘法”:(bi,bj)=bi^T*bj那么B={(bi.bj)}n*n=(b1,b2,..bn)^T*(b1,b2...bn)=Q^T(a1,a2...an)^T*(a1,a2...an)Q=Q^TAQ由于同时合同于标准正交基下的单位矩阵，故其又是正定的即欧式空间在不同基底下的度量矩阵是互相合同且对称且正定的欧式空间其实就是一个具有“乘法”、“可对称”、“正定”三个性质的特殊线性空间。本回答被网友采纳