高等数学，求定积分

Question

如图，是怎么算出来的？

Answer 1

朋友，你好！详细完整清晰过程rt，希望能帮到你解决问题

Answer 2

如图所示：

透过把积分限改为一致，计算这个积分有很多方法，最快是用取"实部"了

追问

你好，最后的那个像字母R的是什么意思？

追答

e^(ix)=cosx+i*sinx
取实部：R(e^(ix))=cosx
R=Re=Real Part
取虚部：I(e^(ix))=sinx
I=Im=Imaginary Part

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Answer 3

见图，就是一个y=-x的代换，然后同类项合并化简。需要理解积分与d后面的变量是x还是y无关。

Answer 4

分享一种算法。∫(costx+isintx)e^(-ax)=∫e^(-ax+itx)dx=[1/(-a+it)]e^(-ax+itx)+C。
∴∫(0,∞)(costx+isintx)e^(-ax)dx=-1/(-a+it)=(a+it)/(a²+t²)，∴∫(0,∞)costxe^(-ax)dx=a/(a²+t²)。
∴a (0,∞)costxe^(-ax)dx=a²/(a²+t²)。

Answer 5

当 a > 0 时，
对于前者， 令 x = -u， 则 dx = -du， 再交换积分上下限，相应地乘以 -1， 得
前者 = (a/2)∫<0, +∞>(costu-isintu)e^(-au)du ,
定积分与积分变量无关， 将 u 更换为 x，
前者 = (a/2)∫<0, +∞>(costu-isintu)e^(-au)du，与后项合并为
I = a∫<0, +∞>costxe^(-ax)dx = -∫<0, +∞>costxde^(-ax)
= -[costx e^(-ax)]<0, +∞> - t∫<0, +∞>sintx e^(-ax) dx
= 1 + (t/a)∫<0, +∞>sintx de^(-ax)
= 1 + (t/a)[sintx e^(-ax)]<0, +∞> - (t^2/a)∫<0, +∞>costx e^(-ax)dx
= 1 + 0 - (t^2/a^2)I,
解得 I = a^2/(a^2+t^2)