自动控制原理概览——劳斯-赫尔维茨与根轨迹法详解
在深入探讨自动控制原理时，劳斯-赫尔维茨稳定判据为我们提供了一种判断系统稳定性的重要工具。通过特征方程的系数分析，我们能够避免繁琐的特征根求解过程，只需确认主行列式和顺序子式是否皆为正，即可得出系统稳定的必要条件，甚至是更为严格的充要条件。
劳斯稳定判据以表格形式呈现，第一列正且符号变化次数对应于特征根在实轴上的分布，这是一种直观且高效的分析工具。当面对特殊情况，如特征方程出现全零行，辅助方程便派上用场，帮助我们处理复根问题。
根轨迹法是研究闭环系统参数变化对特征根影响的利器。它通过描绘特征根在复平面上的轨迹，直观展示了系统性能的响应。特别是当讨论开环增益变化时，根轨迹图不仅标示出闭环极点的位置，还指导我们如何调整性能参数。
根轨迹与系统性能的联系紧密：稳定性由根轨迹是否越过虚轴决定，稳态性能通过静态速度误差系数在根轨迹上反映，而动态性能则由闭环极点的分布所制约。对于高阶系统，根轨迹图的绘制可能受限，需要深入了解闭环零点、极点与开环传递函数之间的关系。
闭环传递函数与开环零极点之间存在深刻的数学联系。根轨迹法的目的是通过闭环特征方程，找到所有闭环极点的集合，进而确定传递函数。根轨迹方程作为矢量方程，包含相位条件和模值条件，是绘制根轨迹的基石。
常规根轨迹和参数根轨迹是根轨迹法的两种形式。常规根轨迹适用于开环增益的变化，而参数根轨迹则涉及系统参数的变动。在等效单位反馈系统中，通过等效变换，我们可以遵循相同的绘制法则。但非最小相位系统，特别是含有负最高次幂系数或正反馈内回路的系统，其根轨迹（零度根轨迹）的绘制法则有所调整，如考虑渐近线交角、实轴分布的特殊性，以及起始角和终值角的计算方法。
深入理解这些原理，我们能在实际应用中更好地掌握自动控制系统的动态行为，优化系统性能。想要了解更多详细内容，请参考权威教材《自动控制原理——胡寿松》。