对角互补的四边形为什么一定有外接圆?求解答要详细过程

Question

如题所述

Answer 1

已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆） 证明：用反证法 过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，刚C在圆外或圆内，

若C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°，∵∠A+∠C=180°∴∠DC’B=∠C 这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。 ∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。追问

角A是哪个角

具体点

追答

追问

为什么∠A+∠DC’B=180°?

追答

参照这个，把∠C改为∠DC’B

如图所示，连接DO, BO. 设∠BOD为360°-θ

∵圆周角等于所对的圆心角的一半

∴∠C=1/2∠BOD,

同理，∠A=1/2θ

∴∠A+∠C=1/2*360=180，即两角互补。

Answer 2

这是圆上关于圆弧的一个定理，名字忘记了，是说同一圆弧所对的圆周角相等。那么你的问题是两角所对圆周角互补，那么相对的角互补。 结论就是有外接圆的时候对角互补。