求逆矩阵常用的有两种方法:
伴随阵法:A^(-1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式的值,A*为矩阵A的伴随矩阵。
行初等变换法:(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。
注意:初等变化只用行(列)运算,不能用列(行)运算。E为单位矩阵。
一般计算中,或者判断中还会遇到以下11种情况来判断是否为可逆矩阵:
1 秩等于行数
2 行列式不为0
3 行向量(或列向量)是线性无关组
4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵
5 作为线性方程组的系数有唯一解
6 满秩
7 可以经过初等行变换化为单位矩阵
8 伴随矩阵可逆
9 可以表示成初等矩阵的乘积
10 它的转置矩阵可逆
11 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变
可逆矩阵的性质
1 矩阵A可逆的充要条件是A的行列式不等于0。
2 可逆矩阵一定是方阵。
3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
7 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
求解逆矩阵的举例,对于如下行列式A:(以二阶方阵为例)
|3 0|
|2 1|
对于元素3,其代数余子式是(-1)^(1+1)*1=1;对于元素0,其代数余子式是(-1)^(1+2)*2=-2;对于元素2,其代数余子式是(-1)^(2+1)*0=0;对于元素1,其代数余子式是(-1)^(2+2)*3=3,所以矩阵A的伴随阵A*是:
|1 0|
|-2 3|
而A的行列式|A|=3*1-2*0=3所以A^(-1)=(1/|A|)*(A*)=
1/3|1 0|
|-2 3|