CGY-EH定理（又称圆锥曲线硬解定理 ）是一套求解椭圆\双曲线与直线相交时∆、 x1+x2 、x1* x2、y1+y2、y1*y2 及相交弦长的简便算法. 若曲线 与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:
其中 ; △‘为一与△同号的值， 。 应用该定理于椭圆 时,应将 代入。
应用于双曲线 时,应将 代入,同时 不应为零,即ε不为零。
求解y1+y2与 y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变。 联立曲线方程与y=kx+ 是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。
若曲线 与直线y=kx+ 相交于E、F两点,则:
这里的 既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：
若曲线 为椭圆 ,则
若曲线 为双曲线 ,则
由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容需要考生自己填写）：
联立两方程得……（二次式子）（*）
所以x1+x2=……①，x1x2=……②；
所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）
化简得|x1-x2|= (偷偷地直接套公式，不必真化简)
下面就可求弦长 了。 设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线 Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次方程：
(A^2 m+B^2 n) x^2+2ACmx+C^2 m-mnB^2=0
应用韦达定理，可得:
x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2 m+B^2 n)
x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/(A^2 m+B^2 n)
∆=4mnB^2 (ε-C^2)
对于等价的一元二次方程∆的数值不唯一,且 ∆的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可取与∆同号的∆'=mn(ε-C^2)作为∆的值。
由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2 )=√((1+A^2/B^2 )[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1 x_2 ] )
可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2 m+B^2 n-C^2))/(|A^2 m+B^2 n|)
令ε=A^2 m+B^2 n 则得到CGY-EH定理:
x_1+x_2=(-2ACm)/ε ; x_1 x_2=(m(C^2-B^2 n))/ε ; ∆'=mn(ε-C^2) ; |EF|=(2√((A^2+B^2)∆'))/(|ε|)
