用向量证明三角形的三边的垂直平分线交于一点

Question

如题所述

Answer 1

设△ABC，三条高线分别为AD、BE、CF、AD与BE交于H，连接CF。向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c。

证明过程如下：

因为AD⊥BC，BE⊥AC，

所以向量HA·向量BC=0，向量HB·向量CA=0，

即向量a·(向量c-向量b)=0，

向量b·(向量a-向量c)=0

亦即

向量a·向量c—向量a·向量b=0；

向量b·向量a—向量b·向量c=0；

两式相加得

向量c·(向量a-向量b)=0

即向量HC·向量BA=0

故CH⊥AB，C、F、H共线，AD、BE、CF交于一点H

扩展资料

三角形四线

中线

连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线（median）。

高

从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高（altitude）。

角平分线

三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（bisector of angle）。

中位线

三角形的三边中任意两边中点的连线叫中位线。它平行于第三边且等于第三边的一半。

参考资料来源：百度百科—三角形

Answer 2

已知：BC⊥AH,AC⊥BH

求证：AB⊥CH

证明：

因为BC⊥AH,AC⊥BH

所以：向量BC·向量AH=向量AC·向量BH=0

所以：向量BC·(向量AC+向量CH)=向量AC·(向量BC+向量CH)=0

所以：向量BC·向量AC=-向量BC·向量CH=-向量AC·向量CH

所以：-向量BC·向量CH+向量AC·向量CH=0

所以：(-向量BC+向量AC)·向量CH=0

所以：向量AB·向量CH=0

所以：AB⊥CH

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Answer 3

错误，这是证明高交于一点，而不是中垂线交与一点。