求助离散数学的证明题... 设为群,G中元素a的阶为k,那么,an = e当且仅当k整除n.

Question

如题所述

Answer 1

若a^n=e,∵a的阶为k,∴a^k=e
∴n≥k,不妨设n=mk+b,若b≠0,
则0<b<k,而a^n=a^(mk)·a^b=(a^k)^m·a^b
即e=e·a^b => a^b=e,而k为a的阶,∴k≤b
这与b<k矛盾.∴b=0,即n=mk,即k|n
反之若k|n,可设n=mk,则显然有
a^n=a^(mk)=(a^k)^m=e^m=e.</k矛盾.∴b=0,即n=mk,即k|n
</b<k,而a^n=a^(mk)·a^b=(a^k)^m·a^b