高数 定积分

Question

如题所述

Answer 1

∫(0,1)f(x)dx∫(0,1)1/f(x)dx=∫(0,1)f(x)dx∫(0,1)f(y)dy

=∫∫(D) f(x)/f(y)dxdy，其中积分区域D={(x,y)|0<=x<=1,0<=y<=1}
由轮换对称性，有∫∫(D) f(x)/f(y)dxdy=∫∫(D) f(y)/f(x)dxdy
所以∫(0,1)f(x)dx∫(0,1)1/f(x)dx=(1/2)*[∫∫(D) f(x)/f(y)dxdy+∫∫(D) f(y)/f(x)dxdy]
=(1/2)*∫∫(D) [f(x)/f(y)+f(y)/f(x)]dxdy
因为1<=f(x)<=3，1<=f(y)<=3，所以1/3<=f(x)/f(y)<=3
2=2√[f(x)/f(y)*f(y)/f(x)]<=f(x)/f(y)+f(y)/f(x)<=3+1/3=10/3
当且仅当f(x)/f(y)=f(y)/f(x)=1，即f(x)=f(y)时，f(x)/f(y)+f(y)/f(x)=2
当且仅当f(x)/f(y)=3或1/3，即f(x)=3，f(y)=1或f(x)=1，f(y)=3时，f(x)/f(y)+f(y)/f(x)=10/3
所以(1/2)*∫∫(D) 2dxdy<=∫(0,1)f(x)dx∫(0,1)1/f(x)dx<=(1/2)*∫∫(D) (10/3)dxdy
1<=∫(0,1)f(x)dx∫(0,1)1/f(x)dx<=5/3