如图，已知在四边形ABCD中

Question

如图，已知在四边形ABCD中，AC,BD交于O，且AC平分∠BAD，AB=AO,AC=AD.现有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=OD；③△AOB是等边三角形；④∠CBD=1/2∠BAD，请你写出正确结论的序号（），并证明

Answer 1

①AC⊥BD；错。因为AB=AO,∠ABO=∠AOB,一个三角形中不可能有两个直角；
②BC=OD；对。因为AB=AO,AD=AC，且∠BAC=∠OAD,所以△ABC全等于△AOD，BC=OD
③△AOB是等边三角形；错。如成立，则△ACD也是等边三角形，将出现∠ACD=∠ADC=∠COD=60，显然不成立
④∠CBD=1/2∠BAD；对。因为△ABC全等于△AOD，所以∠ABC=∠AOD，而∠AOD=∠BAO+∠ABO，∠ABC=∠CBD+∠ABO，所以∠CBD==∠BAO=1/2∠BAD

Answer 2

2和4是对的。
AB=AO,AC=AD，AC平分∠BAD，因此AOB∽ADC，因此，∠ACD=∠ABO（结论1）.
又因为对顶角∠AOB=∠DOC,再加上∠ACD=∠ABO（见结论1），可得AOB∽DOC（结论2）.
因此，AO/AD=BO/CO（比例1）,再加上对顶角∠AOD=∠BOC,因此AOD∽BOC（结论3）。
因此，∠DAO=∠CBO（见结论3）,这样可知④是对的，∠CBD=∠CBO=∠DAO=1/2∠BAD。
根据上面的相似关系AOB∽DOC（见结论2），可知AO/DO=AB/DC（比例2）,因为AO=AB（原题条件给出），所以DO=CD（根据比例2）,且∠CDO=∠BAO（见结论2）.再加上，∠CBD=1/2∠BAD=∠BAO（④的结论），因此，∠CDO=∠CBO
因此，CD=CB，又因为DO=CD（见结论2，再加上AB=AO），所以CB=DO。
结论①和③显然是错误的。

Answer 3

①③错，②④对。
对①：若AC⊥BD，则角AOD=AOB=ABO,三角形ABO内角和大于180，所以结论不成立。
对③：若结论成立，则角AOB=OAB 而根据三角形外角等于不相邻两内角只和，就有角AOB>角DAO 即角AOB大于OAD
对②：OA=CA.角DAC=角CAB，AO=AB.则三角形ADC全等于三角形ACB
对④：三角形ADC全等于三角形ACB,所以角DOA=CBA
角DOA=角DCA+角ODC，角DCA=角DBA，所以角CDB=角CBD。
角CDB+角ADB=角ABD=角AOB，角DAC+角ADB=角AOB.所以角角DAO=ODC=CBO
所以；④∠CBD=1/2∠BAD