十进制数可以精确转换为二进制数吗？

Question

如题所述

Answer 1

首先需要明确的是，这两句话的意思是不同的。
“任何二进制都可以用十进制来准确表示”是在二进制数集合和十进制数集合之间建立了一个映射，每一个二进制数都存在对应的十进制形式，但是可能有的十进制数不对应任何二进制形式，或者可以说从十进制数集到二进制数集的映射是满射（值域是满的）。而“十进制数可以精确转换为二进制数”则是说从二进制数集到十进制数集的映射是满射，这就要求每一个十进制数都必须有对应的二进制形式。
②是对的，因为二进制数的实质是按权展开，小数点前从右到左第n个数位上的数字对应了2^(n-1)的权值，而小数点后从左到右第k个数位数字对应2^(-k)的权值，如二进制小数10.01对应十进制为1*2^1+0*2^0+0*2^(-1)+1*2^(-2)=2.25；而我们都知道，对于任意的k∈Z，2^k一定是有限位的十进制数，所以从二进制到十进制的转换没有任何准确度上的损失。
①是错的，因为十进制的小数部分，即对于任意k∈Z且k<0，10^k不一定能表示为有限位的二进制数，如以下循环的出现——十进制数0.4，转换为二进制小数时由于0.4*2=0.8，小数第一位取0，0.8*2=1.6，第二位取1，弃去1之后0.6*2=1.2，第三位取1，弃去1之后0.2*2=0.4，第四位取0……发现又回到了0.4，所以二进制小数将会是0.011001100110...的无限循环，这样必然出现精确度的损失，所以说不是所有的十进制数都可以精确转换为二进制数。