抽象代数: "等价"的问题

Question

设R是实数集上的关系，并且aRb，当且仅当a-b是整数。R是等价关系吗？

"等价"到底是什么意思? a等价与b，究竟表达了一种什么样的含义，是a和b都有某种性质，还是ab之间的运算结果要符合某种条件? 等等。

还请高手指点一下。

Answer 1

事物A与事物B等价,一般是指A,B在某些方面具有共同的性质,人们在研究这些共同的性质时,对事物A,B不加以区分,认为A,B是同一个事物.
对于两个命题A,B,如果A=>B且B=>A,则称命题A,B等价.
若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。
A中的两个元素x,y有关系R, 如果(x,y)∈R.我们常简记为 xRy.
自反: 任意x属于A,则x与自己具有关系R,即xRx;
对称: 任意x,y属于A,如果x与y具有关系R，即xRy,则y与x也具有关系R，即yRx;
传递: 任意x,y,z属于A,如果xRy且yRz,则xRz
x,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。
例如：在全体人的集合A中，室友是A上的一种关系,如果认为自己跟自己可以称为室友，则满足自反性，但如果甲是乙的室友，则必定乙是甲的室友，满足对称性，同时，如果甲是乙的室友，乙是丙的室友，则甲是丙的室友，满足传递性；因此，室友关系可以称为等价关系。于是在代表宿舍参加活动这一点上，宿舍成员身份是等同的，不论甲还是乙，对外不加区别，即甲乙等价。
另外，三角形的全等也是等价关系。因为A全等A；A全等B=>B全等A,；A全等B，B全等C=>A全等C
A中与元素 x 等价的所有元素构成的子集叫做 x 所在等价类， x也称为这个等价类的代表元。 集合A可以划分为一些等价类的并集，这些等价类两两不相交。 任何元素都必定落在某个等价类里面。
更广泛意义的等价，是集合在某种变换下保持不变性。如：矩阵A与称为等价的，如果B可以是A经过一系列初等变换得到。矩阵在初等变换下是行列式不变的。在线性代数中，合同、相似都是等价关系。

Answer 2

没看懂你的意思。

等价，意思就是一样的。
是互为逆反。

A等价于B，等同于A能推出B;同时B也能推出A.