高数求不定积分，谢谢哈。可写纸上拍下来

Question

如题所述

Answer 1

解：
【法一】
用万能公式代换
令u=tan(x/2)
原式= ∫ 1/[ 1+ 2u/(1+u²) + (1-u²)/(1+u²)] * 2/(1+u²) du
= ∫ 1/(1+u) du
= ln | 1+u | +C
= ln | 1+ tan(x/2) | +C

【法二】
令t=tan(x/2),则sinx=(2t)/(1+t^2),
cosx=(1-t^2)/(1+t^2),dx=(2dt)/(1+t^2),
于是1+sinx+cosx=1+[(2t)/(1+t^2)]+[(1-t^2)/(1+t^2)]=(2+2t)/(1+t^2),
即1/(1+sinx+cosx)=(1+t^2)/(2+2t)
故∫1/(1+sinx+cosx)dx
=∫[(1+t^2)/(2+2t)]*[ (2dt)/(1+t^2)]
=∫[1/(1+t)]dt=ln|1+t|+C
又t=tan(x/2),
所以∫1/(1+sinx+cosx)dx=ln|1+tan(x/2)|+C