计算一个在区域∑上的曲面积分，其中∑是不通过点（1,1,1）的球面的外侧。

Question

具体题目见图

Answer 1

设P=(x-1)/[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2]^(3/2)
Q=(y-1)/[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2]^(3/2)
R=(z-1)/[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2]^(3/2)

满足P'x+Q'y+R'z=0

此题分两种情况。
一，球面不包围点M(1,1,1)
根据高斯定理
原积分=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫(P'x+Q'y+R'z)dV=0

二，球面包围点M(1,1,1)
根据高斯定理，
此时原积分等于任何一个围绕M点的闭合曲面外侧的积分。
取球面(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=t^2

原积分=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=(1/t^3)∫∫(x-1)dydz+(y-1)dzdx+(z-1)dxdy
=(1/t^3)∫∫∫(1+1+1)dV
=(1/t^3)*3*(4πt^3/3)
=4π

满意请采纳，谢谢支持。不懂可追问。追问

∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫(P'x+Q'y+R'z)dV=0

我怎么用高斯公式求这三个偏导的和的三重积分为什么不是0？
后面的我都看懂了

追答

求偏导的时候，设u=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2

然后整体带入，
P'x=u^(-3/2)+(x-1)*(-3/2)u^(-5/2)*2(x-1)=u^(-5/2)[u-3(x-1)^2]
Q'y=u^(-5/2)[u-3(y-1)^2]
R'z=u^(-5/2)[u-3(z-1)^2]

三者相加，得到P'x+Q'y+R'z=u^(-5/2)(3u-3[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2])=u^(-5/2)(3u-3u)=0
所以在不包含奇点M(1,1,1)的范围内，直接用高斯定理即可

∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫∫(P'x+Q'y+R'z)dV=0