高数极限谁会？

Question

如题所述

Answer 1

原式=(xlnx-x+1)/[(x-1)lnx]
这是0/0型，可以用洛必达法则
分子求导=lnx+x*1/x-1=lnx
分母求导=lnx+(x-1)*1/x
所以=lim[xlnx/(xlnx+x-1)]
还是0/0型，可以用洛必达法则
分子求导=lnx+x*1/x=lnx+1
分母求导=lnx+x*1/x+1=lnx+2
x趋于1则lnx趋于0
所以极限=(0+1)/(0+2)=1/2

Answer 2

用罗比塔法则
原式
=lim((xlnx-x+1)/((x-1)lnx))
=lim((lnx+1-1)/(lnx+(x-1)/x))
=lim(lnx/(lnx+1-1/x))
=lim(1/x/(1/x+1/x^2))
=1/1/(1/1+1/1^2)
=1/2

Answer 3

设t=x-1→0
lim(t→0)(t+1)/t-1/In(t+1)
=[(t+1)In(t+1)-t]/tIn(t+1)
又由泰勒公式In(x+1)=x-x^2/2+o(x^2)
原式=lim[t+t^2-t^2/2+o(t^2)-t]/[t^2+o(t^2)]
=lim[t^2/2+o(t^2)]/{t^2+o(t^2)]
=1/2
或由洛必达法则上下求导两次即得