线性相关和线性无关有什么区别与联系呢？

Question

如题所述

Answer 1

1. 线性相关与线性无关的定义：一个向量组如果可以通过组内向量的线性组合得到零向量，且仅当所有系数均为零时，该向量组称为线性无关的。如果存在不全为零的系数使得线性组合为零，则该向量组是线性相关的。
2. 向量组相关性质的分析：
- 当向量组的维数等于其成员向量的个数时，该向量组线性无关的充分必要条件是它的行列式不为零。
- 如果向量组的维数大于其成员向量的个数，则该向量组必定线性相关。
- 通过研究向量组正交性可以了解其相关性。
- 分析由向量组构成的齐次线性方程组的解的情况，可以判断向量组的线性相关性：有非零解则线性相关，否则线性无关。
- 向量组的秩可以用来研究其线性相关性：秩等于向量个数意味着线性无关，秩小于向量个数则线性相关。
3. 线性相关的附加性质：
- 向量组B能由向量组A线性表示的充要条件是矩阵A的秩等于矩阵(A,B)的秩。
- 如果向量组B能由向量组A线性表示，则B的秩不超过A的秩。但反之不成立。
- 零向量可以由任何向量组线性表示。
- 向量组中的每个向量都可以由该向量组本身线性表示。
- 如果向量组α1，α2，……，αm线性无关，且α1，α2，……，αm，β线性相关，则β可以由α1，α2，……，αm线性表示，且表示唯一。