求lim(x^e/e^x)的值(当x->0及x->∞时分别求出两个极限)

Question

请高手写出具体求解过程，谢谢！！！

Answer 1

当x->0时，分子→0，分母→1，极限为0

当x->∞时，原式=lim e·x^(e-1)/e^x 【洛比达法则】

=lim e·(e-1)·x^(e-2)/e^x【洛比达法则】

=lim e·(e-1)·(e-2)·x^(e-3)/e^x【洛比达法则】

=lim e·(e-1)·(e-2)/(e^x·x^(3-e))

分子为常数，分母→∞，则极限为0.

追问

请问高手，如果不用洛必达法则，那么当x->∞时，这个极限怎么求呢？还有，就是你的附图是用什么软件画的呀？谢谢！

追答

那就用Taylor公式
e^x=1+x+x²/2+x³/6+o(x³)
所以原式=lim 1/(x^(-e) +x^(1-e) + x^(2-e)/2 + x^(3-e)/6 +o(x^(3-e)) )
=lim 1/(0 +0 + 0 + x^(3-e)/6 +o(x^(3-e)) )
分母→∞，因此极限为0
图是用几何画板作的