数学三考研！级数问题 为什么1/nlnn发散？当n趋于∞，nlnn不就趋于∞吗？整体不就趋于0吗？

Question

如题所述

Answer 1

证明方法如下：

∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]
=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]

关键项(∞)^(1-p),当p>1时,为0,p1收敛,p∞]1/xlnxdx有相同的敛散性

∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散
故∑1/nlnn发散

之所以产生疑惑，是因为对数列收敛和级数收敛的概念产生混淆：
数列1/nlnn收敛，也就是说1/nlnn是有极限的，极限就是0
题目说的是Σ1/nlnn不收敛
也就是1/2ln2+1/3ln3+1/4ln4+……1/nlnn加起来，不收敛，没有极限。

扩展资料

级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。

级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。

参考资料百度百科-级数

Answer 2

感觉不少人对级数收敛和数列收敛，总是搞混淆，你这里也是混淆了。
你说的是数列1/nlnn收敛，也就是说1/nlnn是有极限的，极限就是0
但是题目说的是Σ1/nlnn不收敛
也就是1/2ln2+1/3ln3+1/4ln4+……1/nlnn……这样加起来，不收敛，没有极限。
这很正常啊。
就说著名的调和级数Σ1/n
数列1/n是收敛的，有极限的，极限是0
但是调和级数Σ1/n=1+1/2+1/3+……1/n+……却是不收敛的，没有极限的。
没问题啊。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

这是一个很著名的结论,要证明的话,就用柯西积分审敛法则
由于是非负递减序列,1/n(lnn)^p与∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx有相同的敛散性
∫[2->∞]1/x(lnx)^pdx=∫[2->∞]lnx^(-p)d(lnx)=[1/(1-p)](lnx)^(1-p) | [2->∞]
=[1/(1-p)][(∞)^(1-p)-2^(1-p)]
其中关键项(∞)^(1-p),当p>1时,为0,p1收敛,p∞]1/xlnxdx有相同的敛散性
∫[2->∞]1/xlnxdx=∫[2->∞]1/lnxd(lnx)=lnlnx | [2->∞] = lnln∞-lnln2发散
故∑1/nlnn发散

Answer 5

通项趋于零并不代表所有项的和趋于0追答

按你说的∑1/n也趋于0

也应该收敛

积分判别法

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