初等数论里最简单的定理有哪些？

Question

如题所述

Answer 1

基础知识

　　定义（欧拉(Euler)函数）一组数称为是模的既约剩余系，如果对任意的，且对于任意的，若＝1，则有且仅有一个是对模的剩余，即。并定义中和互质的数的个数，称为欧拉（Euler）函数。

这是数论中的非常重要的一个函数，显然，而对于，就是1,2，…，中与互素的数的个数，比如说是素数，则有。

　　引理：；可用容斥定理来证（证明略）。

　　定理1：（欧拉（Euler）定理）设＝1，则。
定理2：（费尔马（Fermat）小定理）对于质数及任意整数有。
定理推论：设为质数，是与互质的任一整数，则。

　　定理3：（威尔逊（Wilson）定理）设为质数，则。
定理4：（中国剩余定理）设是两两互素的正整数，那么对于任意整数，一次同余方程组，必有解，

定理5：（拉格郎日定理）设是质数，是非负整数，多项式是一个模为次的整系数多项式（即 ），则同余方程至多有个解（在模有意义的情况下）。

　　定理6：若为对模的阶，为某一正整数，满足，则必为的倍数。