2010年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第4页至第8页。试卷满分120分。考试时间100分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
注意事项：
每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
一、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1） 的值等于
（A）
（B）
（C）
（D）1
（2）下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为
（A） （B） （C） （D）
（3）上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自2010年5月1日开
幕至5月31日，累计参观人数约为8 030 000人，将8 030 000用科学记数法表示
应为
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员10次射击的平均成绩都是7环，其中甲的成绩的方差为1.21，乙的成绩的方差为3.98，由此可知
（A）甲比乙的成绩稳定
（B）乙比甲的成绩稳定
（C）甲、乙两人的成绩一样稳定
（D）无法确定谁的成绩更稳定
（5）右图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图为
（A） （B）
（C） （D）
（6）下列命题中正确的是
（A）对角线相等的四边形是菱形
（B）对角线互相垂直的四边形是菱形
（C）对角线相等的平行四边形是菱形
（D）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（7）如图，⊙O中，弦 、 相交于点 ， 若 ， ，则 等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）比较2， ， 的大小，正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）如图，是一种古代计时器——“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用 表示时间， 表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内 与 的函数关系的是（不考虑水量变化对压力的影响）
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知二次函数 ( )的图象如图所示，有下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中，正确结论的个数是
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
2010年天津市初中毕业生学业考试试卷
数 学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题卡”上。
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
（11）若 ，则 的值为 ．
（12）已知一次函数 与 的图象交于点 ，
则点 的坐标为 ．
（13）如图，已知 ， ，点A、D、B、F在一
条直线上，要使△ ≌△ ，还需添加一个条件，
这个条件可以是 ．
（14）如图，已知正方形 的边长为3， 为 边上一点，
．以点 为中心，把△ 顺时针旋转 ，得
△ ，连接 ，则 的长等于 ．
（15）甲盒装有3个乒乓球，分别标号为1，2，3；乙盒装有2个乒乓球，分别标号为
1，2．现分别从每个盒中随机地取出1个球，则取出的两球标号之和为4的概率是 ．
（16）已知二次函数 ( )中自变量 和函数值 的部分对应值如下表：
…
0
1
…
…
0
…
则该二次函数的解析式为 ．
（17）如图，等边三角形 中， 、 分别为 、 边上
的点， ， 与 交于点 ， 于点 ，
则 的值为 ．
（18）有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片 折叠，使点B、D重合，点C落在点 处，得折痕EF；
第二步：如图②，将五边形 折叠，使AE、 重合，得折痕DG，再打开；
第三步：如图③，进一步折叠，使AE、 均落在DG上，点A、 落在点 处，点E、F落在点 处，得折痕MN、QP.
这样，就可以折出一个五边形 .
（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段 （写出一组即可）；
（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当 ， ， 时，有下列结论：
① ； ② ；
③ ； ④ .
其中，正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）.
三、解答题：本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
（19）（本小题6分）
解不等式组
（20）（本小题8分）
已知反比例函数 （ 为常数， ）．
（Ⅰ）若点 在这个函数的图象上，求 的值；
（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上， 随 的增大而减小，求 的取值范围；
（Ⅲ）若 ，试判断点 ， 是否在这个函数的图象上，并说明理由．
（21）（本小题8分）
我国是世界上严重缺水的国家之一．为了倡导“节约用水从我做起”，小刚在他所在班的50名同学中，随机调查了10名同学家庭中一年的月均用水量（单位：t），并将调查结果绘成了如下的条形统计图．
（Ⅰ）求这10个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估计小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t的约有多少户．
（22）（本小题8分）
已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线， 是切点， 与⊙ 交于点 .
（Ⅰ）如图①，若 ， ，求 的长（结果保留根号）；
（Ⅱ）如图②，若 为 的中点，求证直线 是⊙ 的切线.
（23）（本小题8分）
永乐桥摩天轮是天津市的标志性景观之一．某校数学兴趣小组要测量摩天轮的高度．如图，他们在C处测得摩天轮的最高点A的仰角为 ，再往摩天轮的方向前进50 m至D处，测得最高点A的仰角为 ．
求该兴趣小组测得的摩天轮的高度AB（ ，
结果保留整数）．
（24）（本小题8分）
注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．
青山村种的水稻2007年平均每公顷产8 000 kg，2009年平均每公顷产9 680 kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率.
解题方案：
设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 .
（Ⅰ）用含 的代数式表示：
① 2008年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
② 2009年种的水稻平均每公顷的产量为 ；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程 ；
（Ⅲ）解这个方程，得 ；
（Ⅳ）检验： ；
（Ⅴ）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为 %.
（25）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，矩形 的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在 轴、
轴的正半轴上， ， ，D为边OB的中点.
（Ⅰ）若 为边 上的一个动点，当△ 的周长最小时，求点 的坐标；
（Ⅱ）若 、 为边 上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 、 的坐标.
（26）（本小题10分）
在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于点 、 （点 在点 的左侧），与 轴的正半轴交于点 ，顶点为 .
（Ⅰ）若 ， ，求此时抛物线顶点 的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = S△ABC，求此时直线 的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足
S△BCE = 2S△AOC，且顶点 恰好落在直线 上，求此时抛物线的解析式.
2010年天津市初中毕业生学业考试
数学试题参考答案及评分标准
评分说明：
1．各题均按参考答案及评分标准评分。
2．若考生的非选择题答案与参考答案不完全相同但言之有理，可酌情评分，但不得超过该题所分配的分数。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
（1）A （2）B （3）C （4）A （5）B
（6）D （7）C （8）C （9）B （10）D
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．
（11）
（12）（3，0）
（13） （答案不惟一，也可以是 或 ）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）（Ⅰ） (答案不惟一，也可以是 等)；（Ⅱ）①②③
三、解答题：本大题共8小题，共66分．
（19）（本小题6分）
解： ∵
解不等式①，得 ． ……………………………………… 2分
解不等式②，得 ． ……………………………………… 4分
∴ 原不等式组的解集为 ． ……………………………………… 6分
（20）（本小题8分）
解：（Ⅰ）∵ 点 在这个函数的图象上，
∴ ．解得 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）∵ 在函数 图象的每一支上， 随 的增大而减小，
∴ ．解得 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅲ）∵ ，有 ．
∴ 反比例函数的解析式为 ．
将点 的坐标代入 ，可知点 的坐标满足函数关系式，
∴ 点 在函数 的图象上．
将点 的坐标代入 ，由 ，可知点 的坐标不满足函数关系式，
∴ 点 不在函数 的图象上． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（21）（本小题8分）
解：（Ⅰ）观察条形图，可知这组样本数据的平均数是
．
∴ 这组样本数据的平均数为 ．
∵ 在这组样本数据中， 出现了4次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是 ．
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 ，
有 ，
∴ 这组数据的中位数是 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）∵ 10户中月均用水量不超过7 t的有7户，
有 ．
∴ 根据样本数据，可以估计出小刚所在班50名同学家庭中月均用水量不超过7 t的约有35户． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（22）（本小题8分）
解：（Ⅰ）∵ 是⊙ 的直径， 是切线，
∴ .
在Rt△ 中， ， ，
∴ .
由勾股定理，得 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
(Ⅱ)如图，连接 、 ，
∵ 是⊙ 的直径，
∴ ，有 .
在Rt△ 中， 为 的中点，
∴ .
∴ .
又 ∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
即 .
∴ 直线 是⊙ 的切线. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（23）（本小题8分）
解：根据题意，可知 ， ， .
在Rt△ 中，由 ，得 .
在Rt△ 中，由 ，
得 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
又 ∵ ，
∴ ，即 .
∴ .
答：该兴趣小组测得的摩天轮的高度约为118 m. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（24）（本小题8分）
解：（Ⅰ）① ；② ；
（Ⅱ） ； ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（Ⅲ） ， ；
（Ⅳ） ， 都是原方程的根，但 不符合题意，所以只取 ；
（Ⅴ）10 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
（25）（本小题10分）
解：（Ⅰ）如图，作点D关于 轴的对称点 ，连接 与 轴交于点E，连接 .
若在边 上任取点 （与点E不重合），连接 、 、 .
由 ，
可知△ 的周长最小.
∵ 在矩形 中， ， ， 为 的中点，
∴ ， ， .
∵ OE‖BC，
∴ Rt△ ∽Rt△ ，有 .
∴ .
∴ 点 的坐标为（1，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）如图，作点 关于 轴的对称点 ，在 边上截取 ，连接 与 轴交于点 ，在 上截取 .
∵ GC‖EF， ，
∴ 四边形 为平行四边形，有 .
又 、 的长为定值，
∴ 此时得到的点 、 使四边形 的周长最小.
∵ OE‖BC，
∴ Rt△ ∽Rt△ , 有 .
∴ .
∴ .
∴ 点 的坐标为（ ，0），点 的坐标为（ ，0）. ．．．．．．．．．．．．．．．10分
（26）（本小题10分）
解：（Ⅰ）当 ， 时，抛物线的解析式为 ，即 .
∴ 抛物线顶点 的坐标为（1，4）． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点 在对称轴 上，有 ，
∴ 抛物线的解析式为 （ ）．
∴ 此时，抛物线与 轴的交点为 ，顶点为 ．
∵ 方程 的两个根为 ， ，
∴ 此时，抛物线与 轴的交点为 ， ．
如图，过点 作EF‖CB与 轴交于点 ，连接 ，则S△BCE = S△BCF．
∵ S△BCE = S△ABC，
∴ S△BCF = S△ABC．
∴ ．
设对称轴 与 轴交于点 ，
则 ．
由EF‖CB，得 ．
∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有 ．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点 ， ．
设直线 的解析式为 ，则
解得
∴ 直线 的解析式为 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为 ，（ ， ）
则抛物线的解析式为 ，
此时，抛物线与 轴的交点为 ，
与 轴的交点为 ， .（ ）
过点 作EF‖CB与 轴交于点 ，连接 ，
则S△BCE = S△BCF.
由S△BCE = 2S△AOC，
∴ S△BCF = 2S△AOC. 得 .
设该抛物线的对称轴与 轴交于点 .
则 .
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有 ．
∴ ，即 ．
结合题意，解得 ． ①
∵ 点 在直线 上，有 ． ②
∴ 由①②，结合题意，解得 ．
有 ， ．
∴ 抛物线的解析式为 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
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