不定积分∫e^ xsinxdx怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

解答过程如下：

∫e^xsinxdx=∫sinxd(e^x)=sinx e^x-∫e^x d(sinx)= sinx e^x-∫e^x cosx dx

对第二项再用一次分部积分法

∫e^x cosx dx=∫cosxd(e^x)=cosx e^x-∫e^x d(cosx)

= cosx e^x+∫e^x sinx dx

代入第一个等式，可得

∫e^x sinx dx=sinx e^x- [cosx e^x+∫e^x sinx dx]

粗体部分移到同一侧，可得

∫e^x sinx dx=½ e^x[sinx - cosx]+C

解释

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。