凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续,且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间,那么f有可能在C的端点不连续。
一元可微函数在某个区间上是凸的,当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的,当且仅当函数位于所有它的切线的上方:对于区间内的所有x和y,都有f(y) > f(x) + f '(x) (y − x)。特别地,如果f '(c) = 0,那么c是f(x)的最小值。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的
二阶导数是非负的;这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数,那么函数就是严格凸的,但反过来不成立。例如,f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2,当x = 0时为零,但x4是严格凸的。
更一般地,多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是
正定的。
凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f,水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(a ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函数不一定是凸函数;这样的函数称为拟凸函数。
延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果X是一个随机变量,在f的
定义域内取值,那么(在这里,E表示
数学期望。)
凸函数还有一个重要的性质:对于凸函数来说,局部最小值就是全局最小值。