最小二乘法的公式

Question

如题所述

Answer 1

最小二乘法是一种用于拟合数据的数学方法。它的基本思想是通过最小化误差平方和来找到最优的拟合函数。
给定一组数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，假设它们服从线性关系 y = ax + b，我们的目标是找到最优的系数 a 和 b，使得误差平方和最小。
具体而言，我们定义误差函数 E(a, b) = Σ(yi - axi - b)^2，其中 Σ 表示对所有数据点求和。最小二乘法的核心思想就是将这个误差函数最小化，即求出使得 E(a, b) 最小的系数 a 和 b。
为了实现这个目标，我们需要对误差函数求偏导数，并令其等于 0。具体而言，我们先分别对 a 和 b 求偏导数，得到以下两个方程：
Σ(xi * (yi - axi - b)) = 0
Σ(yi - axi - b) = 0
然后，我们可以将这两个方程转化为矩阵形式，得到以下公式：
X = [[x1, 1], [x2, 1], ..., [xn, 1]]
Y = [[y1], [y2], ..., [yn]]
A = [[a], [b]]
A = (X^T X)^(-1) X^T Y
其中 X^T 表示 X 的转置，^(-1) 表示矩阵的逆。这个公式就是最小二乘法的核心公式，可以用来求出最优的系数 a 和 b。
需要注意的是，最小二乘法只适用于线性模型，并且要求数据点之间的误差服从正态分布。在实际应用中，我们也可以使用其他的拟合方法来适应不同的数据模型和误差分布。