如何用正定矩阵定义证明改矩阵A为正定矩阵

Question

如题所述

Answer 1

首先写出二次型表达式。
二次型f(x1,x2,...,xn)=x1²+x2²+...+xn²+2/nx1x2+2/nx1x3+...+2/nxn-1xn
=n·1/nx1²+n·1/nx2²+...+n·1/nxn²+2/nx1x2+2/nx1x3+...+2/nxn-1xn
利用 a²+2ab+b²=(a+b)²
f(x1,x2,...,xn)=(1/nx1²+2/nx1x2+1/nx2²)+(1/nx1²+2/nx1x3+1/nx3²)+...
+(1/nxn-1²+2/nxn-1xn+1/nxn²)=1/n[(x1+x2)²+(x1+x3)²+...+(xn-1+xn)²]
显然当x=(x1,x2,...,xn)≠0时，f(x1,x2,...,xn)＞0
所以此二次型为正定二次型。

newmanhero 2015年4月27日22:09:11

希望对你有所帮助，望采纳。