三点共线求最小值是什么模型

Question

设 ， ， ，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则 的最小值是____.

Answer 1

【分析】 本题考察的知识点是向量共线定理，则基本不等式中1的活用，由 =(1，-2)， =(a，-1)， =(-b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，我们可以得到2a+b=1，由基本不等式1的活用，我们易求出 + 的最小值． ∵ =(1，-2)， =(a，-1)， =(-b，0)， ∴ . 又∵A、B、C三点共线， ∴ 共线， ∴2a+b=1. 又∵a>0，b>0, ∴ + =( + )•(2a+b)=4+( )≥4+4=8， ∴ + 的最小值是8. 【点评】 本题也可利用结论：若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则 =λ +μ ，且λ+μ=1，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．