怎样证明无理数比有理数多

Question

如题所述

Answer 1

首先，有理数有可数个（就是你按照一，二。。。可以排下去。数学语言就是可以建立有理数到正整数的一一影射。）这个很简单。你给我一个m/n（已经约分）我就可以给你一个（2m+1）*2^n（属于正整数）自己证明一下：m/n不同（2m+1）*2^n就不同，相反（2m+1）*2^n不同，m/n就不同。

所以有理数和（2m+1）*2^n一样多！（可以证明跟整数一样多，（2m+1）*2^n不多于正整数，有理数不多于正整数。然而正整数也是有理数，所以正整数不多于有理数，所以相等。你可能觉得逻辑上有矛盾，大学就理解了）

下面证明无理数数不过来：假设无理数可以数过来，我们只看[0，1]上的无理数。既然它可数，你把它全排出来，然后你看看这个数：第一位小数不等于你给出的顺序中第一个数的第一位（保证它不会是那第一个数）。第二位小数不等于你给出的顺序中第二个数的第二位（保证它不会是那第二个数）。第n位小数不等于你给出的顺序中第n个数的第n位（保证它不会是那第n个数）。只要保证不循环它也是无理数。（每一位与某个数不相等，还有9种选择等着你，有的是不循环的）
显然你给出的顺序里没有它。这与全部排列了[0，1]中无理数矛盾。
所以无理数排不出来，也就是[0，1]之间无理数比正整数多很多，全部的无理数还是多很多。
刚才证明了有理数跟整数一样多
所以：无理数比有理数多很多

Answer 2

无理数多。
这是个穷集合的对等的问题，和有限集比较元素个数不同。
首先说明什么是“多”。有理数和无理数不对等，即不能建立一一对应关系。而如果两个集合可以建立一一对应关系，则说它们是对等的（即“一样多”）。
无穷集合的对等与有限集的一样多在直观上可能是不同的，如整数和偶数是可以一一对应的（n对应2n），因而它们是对等的。
因为有理数可以写成整数分数的形式，因此有理数和整数对儿对等；又因为整数对儿(0,
0)、(0,
1)、(1,
0)、(1,
1)……可以排成有序的一列（正负可以交错排列），因此整数对儿和自然数也对等。
同样的，由于无理数有1.1415926……，2.1415926……，3.1415926……，因此无理数的一部分可以与自然数建立一一对应关系，它们是对等的。因此无理数不会比自然数少，也就不会比有理数少。
我们现在只要说明无理数与自然数不能对等。
我们用反证法。反设无理数可以排成一列（从而可以编号1、2、3……）：
x.xxxx……
x.xxxx……
……
我们可以找出一个新的无理数，它的第一位与上面数列中的第一个数不同，第二位与数列中的第二个数不同，……从而这个新无理数就不在数列中，这是一个矛盾。此矛盾说明无理数不能排成一列，即无理数比自然数多，从而比有理数多。

Answer 3

最简单的证明：
设有理数有N个，[1]N个有理数和根号2相乘就得到（N-1）个无理数，[2]同样的道理，N个有理数和根号3相乘也得到（N-1）个无理数，[1]+[2]得：无理数有（2N-2）个。[1]+[2]减去有理数的个数N得：（2N-2）-N=N-2
。只是与这样2个无理数有一点点关系的无理数都比有理数多，其他的无理数我就不想说了。所以无理数比有理数多。