如何证明协方差矩阵是非负定矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

cov=co-var，co-是联合，协作，cov(x,y)=e(xy)-e(x)e(y)，var(x)=e(xx)-e(x)e(x)，0=0，所以是非负定矩阵。
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，先定义正定二次型：
设有二次型
,如果对任何x
0都有f(x)>0(
0)
，则称f(x)为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令a为
阶对称矩阵，若对任意n
维向量
x≠
0都有
f(x)>0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n
阶对称矩阵，若对任意
n
维向量
x≠0
,都有
f(x)<0（≤
0），
则称a负定（半负定）矩阵。例如，单位矩阵e
就是正定矩阵。

Answer 2

cov=co-var，co-是联合，协作，cov(x,y)=e(xy)-e(x)e(y)，var(x)=e(xx)-e(x)e(x)，0=0，所以是非负定矩阵。
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，先定义正定二次型：
设有二次型
,如果对任何x
0都有f(x)>0(
0)
，则称f(x)为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令a为
阶对称矩阵，若对任意n
维向量
x≠
0都有
f(x)>0(≥0)则称a正定（半正定）矩阵；反之，令a为n
阶对称矩阵，若对任意
n
维向量
x≠0
,都有
f(x)<0（≤
0），
则称a负定（半负定）矩阵。例如，单位矩阵e
就是正定矩阵。