拉格朗日中值定理证明

Question

拉格朗日中值定理证明1和3题

Answer 1

定理内容

若函数f(x)在区间[a,b]满足以下条件:

(1)在[a,b]连续

(2)在(a,b)可导

则在(a,b)中至少存在一点c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)

证明:

把定理里面的c换成x再不定积分得原函数f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.

做辅助函数G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}(x-a). 

易证明此函数在该区间满足条件: 

1.G(a)=G(b);

2.G(x)在[a,b]连续;

3.G(x)在(a,b)可导. 

此即罗尔定理条件,由罗尔定理条件即证。

扩展资料：

几何意义

见下图：

若连续曲线y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))两点间的每一点处都有不垂直与x轴的切线,则曲线在A,B间至少存在一点P(c,f(c)),使得该曲线在P点的切线与割线AB平行.

向左转|向右转。

Answer 2

(1)
设f(x)=lnx
则：f(x)在[b，a]连续，在(b，a)可导，
则：在(b，a)内必存在一点ξ，使得：f(a)-f(b)=f'(ξ)(a -b)
即：ln(a/b)=(1/ξ)(a-b)
显然：(a-b)/a<=(1/ξ)(a-b)<=(a-b)/b
所以：(a-b)/a<=ln(a/b)<=(a-b)/b
(3)
设f(x)=lnx
则：f(x)在[n，n+1]连续，在(n，n+1)可导，
则：在(n，n+1)内必存在一点ξ，使得：f(n+1)-f(n)=f'(ξ)
即：ln[(n+1)/n]=1/ξ
ln[1+(1/n)]=1/ξ
显然：1/(n+1)<1/ξ<1/n
所以：1/(n+1)<ln[(n+1)/n]<1/n追问

万分感谢

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