调和函数具有解析性和平均值原理两大性质。
解析性。调和函数在定义域内每一点是可以进行无穷次泰勒展开的，这就意味着调和函数是光滑的，或者说无穷次可导的。
平均值原理。如果调和函数不是常数，那么它不能在内部取到极大值或极小值。
调和函数是在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
知识扩展
调和函数是数学中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和实际应用。
首先，我们需要明确什么是调和函数。调和函数是指在一个区域内满足拉普拉斯方程的函数。拉普拉斯方程是一个二阶线性微分方程，它的解就是所谓的调和函数。
调和函数的性质主要表现在以下两个方面：
解析性：调和函数在其定义域内是解析的，即可以表示为无穷次幂级数。这意味着调和函数可以表示为无限多个线性无关的基函数的线性组合。这种解析性使得调和函数在许多数学领域中具有广泛的应用，例如复分析、微分几何、偏微分方程等。
平均值性质：对于非常数的调和函数，其函数值不能取到极大值或极小值。这是因为调和函数的泰勒级数展开中，每一项都是一个常数与一个余项的和，而这个余项是小于等于该项系数的绝对值的。
这意味着对于一个非常数的调和函数，其函数值只能无限接近于某个常数，但不能达到这个常数。因此，我们可以利用这种性质来求解一些数值问题，例如计算两个点之间的距离。
除了以上两个主要的性质外，调和函数还具有一些其他的性质，例如如果一个函数是调和的，那么它的水平集和垂直集都是凸的。此外，调和函数的梯度和向量场的散度也是调和的。这些性质在解决一些实际问题时非常有用。
在实际应用中，调和函数被广泛应用于许多领域，例如物理学、工程学、经济学等。例如，在物理学中，调和函数可以用来描述电磁场、引力场等自然现象。
在工程学中，调和函数被用来解决一些最优控制问题、电路设计问题等。在经济学中，调和函数被用来描述一些金融市场的动态变化等。
总之，调和函数是一个非常重要的数学概念，它具有许多重要的性质和实际应用。通过深入研究和了解调和函数的性质和应用，我们可以更好地解决一些实际问题并推动相关领域的发展。