secx三次方的不定积分是什么？

Question

如题所述

Answer 1

secx三次方的不定积分具体回答如下：

∫(secx)^3dx

=∫secx(secx)^2dx

=∫secxdtanx

=secxtanx-∫tanxdsecx

=secxtanx-∫(tanx)^2secxdx

=secxtanx-∫((secx)^2-1)secxdx

=secxtanx-∫(secx)^3dx+∫secxdx

=secxtanx+ln│secx+tanx│--∫(secx)^3dx

所以∫(secx)^3dx=1/2（secxtanx+ln│secx+tanx│）

不定积分的公式：

1、∫adx=ax+C，a和C都是常数

2、∫x^adx=[x^(a+1)]/(a+1)+C，其中a为常数且a≠-1

3、∫1/xdx=ln|x|+C

4、∫a^xdx=(1/lna)a^x+C，其中a>0且a≠1

5、∫e^xdx=e^x+C

6、∫cosxdx=sinx+C

7、∫sinxdx=-cosx+C

8、∫cotxdx=ln|sinx|+C=-ln|cscx|+C

Answer 2

要计算sec^3(x)的不定积分，可以通过分部积分法来解决。分部积分法公式为：
∫ u dv = uv - ∫ v du
其中，u和v是可微函数。对于sec^3(x)，我们可以将其写成两个函数的乘积：u = sec(x) 和 dv = sec^2(x) dx。
首先，求出du和v：
du = sec(x) * tan(x) dx
v = ∫ sec^2(x) dx = tan(x)
现在将上述结果代入分部积分公式：
∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - ∫ tan(x) * sec(x) * tan(x) dx
化简得：
∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - ∫ sec(x) * tan^2(x) dx
再次运用分部积分法来计算∫ sec(x) * tan^2(x) dx：
令 u = tan(x) 和 dv = sec(x) * tan(x) dx
则 du = sec^2(x) dx 和 v = sec(x)
将上述结果代入分部积分公式：
∫ sec(x) * tan^2(x) dx = tan(x) * sec(x) - ∫ sec^3(x) dx
现在将这个结果代入之前的式子：
∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - (tan(x) * sec(x) - ∫ sec^3(x) dx)
将∫ sec^3(x) dx移到等号右边：
2∫ sec^3(x) dx = sec(x) * tan(x) - tan(x) * sec(x)
化简得：
∫ sec^3(x) dx = (1/2) * sec(x) * tan(x) + C
其中，C是积分常数。所以，sec^3(x)的不定积分为(1/2) * sec(x) * tan(x) + C。

Answer 3

对于不定积分∫sec^3(x) dx，由于并没有简单的标准公式，所以处理它通常需要使用一些高等数学的技巧，具体而言，我们要使用分部积分和三角恒等式。

首先，我们将∫sec^3(x) dx 分解为 ∫sec x · sec^2(x) dx。然后让 u=sec x，dv=sec^2(x) dx。这样我们可以用分部积分法进行计算，按照分部积分公式 ∫udv = uv - ∫vdu。

我们得到如下的结果：

= sec(x)·tan(x) - ∫ tan^2(x)·sec(x) dx
= sec(x)·tan(x) - ∫ [sec^2(x) - 1]·sec(x) dx
= sec(x)·tan(x) - ∫sec^3(x) dx + ∫sec(x) dx

然后你有了一个式子∫sec^3(x) dx = sec(x)·tan(x) - ∫sec^3(x) dx + ∫sec(x) dx。

解这个等式得：

2∫sec^3(x) dx = sec(x)·tan(x) + ∫sec(x) dx
∫sec^3(x) dx = 1/2 [sec(x)·tan(x) + ∫sec(x) dx]

其中，∫sec(x) dx是一个标准的积分，解为 ln|sec(x)+tan(x)|。

所以最后的结果为：

∫sec^3(x) dx = 1/2 [sec(x)·tan(x) + ln|sec(x)+tan(x)|] + C，

其中 C 是常数。