高等概率论：条件期望、条件方差与条件协方差的性质

Question

如题所述

Answer 1

高等概率论中，条件期望、条件方差与条件协方差是关键概念，它们的性质在统计分析和经济模型构建中发挥重要作用。

条件期望性质包含如下几点：

1. 条件期望的线性性：若f(x)和g(x)是x的标量函数，X为随机向量，且E(X)存在，则E(aX + b) = aE(X) + b，其中a和b为常数。

2. 双期望定理的常见形式：E(E(X|Y)) = E(X)。

3. 双期望定理的一般形式：E(f(X)|Y) = E(f(X))对任意非随机函数f(X)成立；E(X|Y)对任意函数g(Y)的期望为E(X)。

4. 条件函数关于随机变量的期望：若X为关于Y的函数，且存在标量函数h，使得E(h(Y)X)存在，则E(X|Y) = h(Y)。

5. 独立随机变量的条件期望：若向量X和Y相互独立，则E(X|Y) = E(X)。

6. 预测误差的期望为零：若X为随机变量，且E(X) = μ，则E(X - μ) = 0。

7. 凸函数与条件期望：若f为定义在随机变量X上的凸函数，且E(X) = μ，则f(E(X)) ≤ E(f(X))。

8. 优化问题的解：若X为随机变量，集合F为函数集合，且E(X)在F中取最小值，则E(X)为问题的解。

条件方差的性质有：

1. 条件方差的计算：E[(X - E(X|Y))^2|Y] = Var(X|Y)。

2. 条件方差与期望的关系：Var(X) = E(Var(X|Y)) + Var(E(X|Y))。

3. 条件方差的分解：Var(X) = E(X^2|Y) - [E(X|Y)]^2。

4. 条件方差的性质4简证：由性质3知，Var(X|Y) = E(X^2|Y) - [E(X|Y)]^2，两边取期望即证。

条件协方差性质阐述如下：

1. 条件协方差的定义：Cov(X,Y|Z) = E[(X - E(X|Z))(Y - E(Y|Z))|Z]。

2. 协方差的性质3简证：同条件方差性质3，只是平方得换成两个变量之乘积。

3. 协方差分解：Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = E[Cov(X,Y|Z)] + Cov(E[X|Z], E[Y|Z])。